(x+8)/(x+2)(x-7)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x + 8}{x + 2} \left(x - 7\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x + 8}{x + 2} \left(x - 7\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x + 8}{x + 2} \left(x - 7\right) = 0$$
denominador
$$x + 2$$
entonces

x no es igual a -2

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 7 = 0$$
$$x + 8 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 7$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 7
2.
$$x + 8 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -8$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -8
pero

x no es igual a -2

$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -8$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-8 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{81}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x + 8}{x + 2} \left(x - 7\right) \leq 0$$
$$\frac{- \frac{81}{10} + 8}{- \frac{81}{10} + 2} \left(- \frac{81}{10} - 7\right) \leq 0$$

-151      
----- <= 0
 610      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -8$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -8$$
$$x \geq 7$$