sqrt(x+5)+sqrt(5-x)>4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5} > 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5} = 4$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5} = 4$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5}\right)^{2} = 16$$
o
$$1^{2} \left(5 - x\right) + \left(2 \sqrt{\left(5 - x\right) \left(x + 5\right)} + 1^{2} \left(x + 5\right)\right) = 16$$
o
$$2 \sqrt{25 - x^{2}} + 10 = 16$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{25 - x^{2}} = 6$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$100 - 4 x^{2} = 36$$
$$100 - 4 x^{2} = 36$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$64 - 4 x^{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 0$$
$$c = 64$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-4) * (64) = 1024

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$

Como
$$\sqrt{25 - x^{2}} = 3$$
y
$$\sqrt{25 - x^{2}} \geq 0$$
entonces
$$3 \geq 0$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
comprobamos:
$$x_{1} = -4$$
$$\sqrt{5 - x_{1}} + \sqrt{x_{1} + 5} - 4 = 0$$
=
$$-4 + \left(\sqrt{-4 + 5} + \sqrt{5 - -4}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = 4$$
$$\sqrt{5 - x_{2}} + \sqrt{x_{2} + 5} - 4 = 0$$
=
$$-4 + \left(\sqrt{5 - 4} + \sqrt{4 + 5}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 5} > 4$$
$$\sqrt{- \frac{41}{10} + 5} + \sqrt{5 - - \frac{41}{10}} > 4$$

  _____       ____    
\/ 910    3*\/ 10     
------- + -------- > 4
   10        10       
    

Entonces
$$x < -4$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -4 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2