(7-4√3)^(2x)-14*(1/(7+4√3))^x+1≤0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^{2 x} - 14 \left(\frac{1}{4 \sqrt{3} + 7}\right)^{x}\right) + 1 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^{2 x} - 14 \left(\frac{1}{4 \sqrt{3} + 7}\right)^{x}\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^{2 x} - 14 \left(\frac{1}{4 \sqrt{3} + 7}\right)^{x}\right) + 1 = 0$$
o
$$\left(\left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^{2 x} - 14 \left(\frac{1}{4 \sqrt{3} + 7}\right)^{x}\right) + 1 = 0$$
Sustituimos
$$v = \left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^{2 x}$$
obtendremos
$$v + 1 - 14 \left(4 \sqrt{3} + 7\right)^{- x} = 0$$
o
$$v + 1 - 14 \left(4 \sqrt{3} + 7\right)^{- x} = 0$$
hacemos cambio inverso
$$\left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^{2 x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(\left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^{2} \right)}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$-1.1$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^{2 x} - 14 \left(\frac{1}{4 \sqrt{3} + 7}\right)^{x}\right) + 1 \leq 0$$
$$1 + \left(- \frac{14}{\left(\frac{1}{4 \sqrt{3} + 7}\right)^{1.1}} + \left(7 - 4 \sqrt{3}\right)^{\left(-1.1\right) 2}\right) \leq 0$$

                 -2.2                   1.1     
    /        ___\          /        ___\    <= 0
1 + \7 - 4*\/ 3 /     - 14*\7 + 4*\/ 3 /        

pero

                 -2.2                   1.1     
    /        ___\          /        ___\    >= 0
1 + \7 - 4*\/ 3 /     - 14*\7 + 4*\/ 3 /        

Entonces
$$x \leq -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -1 \wedge x \leq 1$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1