Se da la desigualdad:
$$\frac{x^{4} - 81}{\left(3 x^{2} + 8 x\right) - 3} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x^{4} - 81}{\left(3 x^{2} + 8 x\right) - 3} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x^{4} - 81}{\left(3 x^{2} + 8 x\right) - 3} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 9\right)}{3 x - 1} = 0$$
denominador
$$3 x - 1$$
entonces
x no es igual a 1/3
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 3 = 0$$
$$x^{2} + 9 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 3
2.
$$x^{2} + 9 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 9$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (9) = -36
Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{2} = 3 i$$
$$x_{3} = - 3 i$$
pero
x no es igual a 1/3
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 3 i$$
$$x_{3} = - 3 i$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x^{4} - 81}{\left(3 x^{2} + 8 x\right) - 3} > 0$$
$$\frac{-81 + \left(\frac{29}{10}\right)^{4}}{-3 + \left(\frac{8 \cdot 29}{10} + 3 \left(\frac{29}{10}\right)^{2}\right)} > 0$$
-1741
------ > 0
7700
Entonces
$$x < 3$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 3$$
_____
/
-------ο-------
x1