x(x-3)*(x+4)*(x-7)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \left(x - 3\right) \left(x + 4\right) \left(x - 7\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \left(x - 3\right) \left(x + 4\right) \left(x - 7\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 7$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 7$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \left(x - 3\right) \left(x + 4\right) \left(x - 7\right) \leq 0$$
$$\frac{\left(-41\right) \left(- \frac{41}{10} - 3\right)}{10} \left(- \frac{41}{10} + 4\right) \left(-7 + - \frac{41}{10}\right) \leq 0$$

323121     
------ <= 0
10000      

pero

323121     
------ >= 0
10000      

Entonces
$$x \leq -4$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 0$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 0$$
$$x \geq 3 \wedge x \leq 7$$