x-2/(x-5)(x-1)≥0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x - \frac{2}{x - 5} \left(x - 1\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x - \frac{2}{x - 5} \left(x - 1\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$x - \frac{2}{x - 5} \left(x - 1\right) = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-5 + x
obtendremos:
$$\left(x - 5\right) \left(x - \frac{2}{x - 5} \left(x - 1\right)\right) = 0$$
$$x^{2} - 7 x + 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (1) * (2) = 41

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{41}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{41}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{41}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{41}}{2} + \frac{7}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right)$$
=
$$\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x - \frac{2}{x - 5} \left(x - 1\right) \geq 0$$
$$- \frac{2}{-5 + \left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right)} \left(-1 + \left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right)\right) + \left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right) \geq 0$$

                /       ____\     
                |12   \/ 41 |     
       ____   2*|-- - ------|     
17   \/ 41      \5      2   /     
-- - ------ - --------------- >= 0
5      2                ____      
                  8   \/ 41       
                - - - ------      
                  5     2         

pero

                /       ____\    
                |12   \/ 41 |    
       ____   2*|-- - ------|    
17   \/ 41      \5      2   /    
-- - ------ - --------------- < 0
5      2                ____     
                  8   \/ 41      
                - - - ------     
                  5     2        

Entonces
$$x \leq \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2} \wedge x \leq \frac{\sqrt{41}}{2} + \frac{7}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1