3*9^x-8*3^x-3<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 8 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x}\right) - 3 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 8 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x}\right) - 3 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 8 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x}\right) - 3 = 0$$
o
$$\left(- 8 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x}\right) - 3 = 0$$
Sustituimos
$$v = 3^{x}$$
obtendremos
$$3 v^{2} - 8 v - 3 = 0$$
o
$$3 v^{2} - 8 v - 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 3$$
$$b = -8$$
$$c = -3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (3) * (-3) = 100

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = 3$$
$$v_{2} = - \frac{1}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$3^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 8 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x}\right) - 3 < 0$$
$$\left(- \frac{8}{3^{\frac{13}{30}}} + \frac{3}{9^{\frac{13}{30}}}\right) - 3 < 0$$

                17    
                --    
                30    
      2/15   8*3   < 0
-3 + 3     - -----    
               3      
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{1}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{1}{3}$$
$$x > 3$$