(sinx+cosx)/(sinx-cosx)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}} = 0$$
cambiamos
$$- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
$$-1 + \frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación:
$$-1 + \frac{w + \sin{\left(x \right)}}{- w + \sin{\left(x \right)}} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por el denominador -w + sin(x)
obtendremos:
$$- \frac{2 w \left(- w + \sin{\left(x \right)}\right)}{w - \sin{\left(x \right)}} = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-2*w-w+sin+x)/w+/sin+/x) = 0

Sumamos los términos semejantes en el miembro izquierdo de la ecuación:

-2*w*(-w + sin(x))/(w - sin(x)) = 0

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -2*(-w + sin(x))/(w - sin(x))

w = 0 / (-2*(-w + sin(x))/(w - sin(x)))

Obtenemos la respuesta: w = 0
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}} > 0$$
$$\frac{\sin{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} + \cos{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)}}{\sin{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} - \cos{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)}} > 0$$

     /1    pi\      /1    pi\    
- sin|-- + --| + cos|-- + --|    
     \10   4 /      \10   4 /    
----------------------------- > 0
     /1    pi\      /1    pi\    
- cos|-- + --| - sin|-- + --|    
     \10   4 /      \10   4 /    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < - \frac{\pi}{4}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1