Sr Examen

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3<(sin(x)+cos(x))/(sin(x)-cos(x)) desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
    sin(x) + cos(x)
3 < ---------------
    sin(x) - cos(x)
3<sin(x)+cos(x)sin(x)cos(x)3 < \frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}
3 < (sin(x) + cos(x))/(sin(x) - cos(x))
Solución detallada
Se da la desigualdad:
3<sin(x)+cos(x)sin(x)cos(x)3 < \frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
3=sin(x)+cos(x)sin(x)cos(x)3 = \frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}
Resolvemos:
x1=atan(2)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
x1=atan(2)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Las raíces dadas
x1=atan(2)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
110+atan(2)- \frac{1}{10} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
=
110+atan(2)- \frac{1}{10} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
lo sustituimos en la expresión
3<sin(x)+cos(x)sin(x)cos(x)3 < \frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}
3<cos(110+atan(2))+sin(110+atan(2))cos(110+atan(2))+sin(110+atan(2))3 < \frac{\cos{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)} \right)} + \sin{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)} \right)}}{- \cos{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)} \right)} + \sin{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{atan}{\left(2 \right)} \right)}}
    -sin(1/10 - atan(2)) + cos(1/10 - atan(2))
3 < ------------------------------------------
    -cos(1/10 - atan(2)) - sin(1/10 - atan(2))

significa que la solución de la desigualdad será con:
x<atan(2)x < \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
 _____          
      \    
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-1010203040506070-50005000
Respuesta rápida 2 [src]
 pi              5*pi               
(--, atan(2)) U (----, pi + atan(2))
 4                4                 
x in (π4,atan(2))(5π4,atan(2)+π)x\ in\ \left(\frac{\pi}{4}, \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{4}, \operatorname{atan}{\left(2 \right)} + \pi\right)
x in Union(Interval.open(pi/4, atan(2)), Interval.open(5*pi/4, atan(2) + pi))
Respuesta rápida [src]
  /   /5*pi                      \     /pi                 \\
Or|And|---- < x, x < pi + atan(2)|, And|-- < x, x < atan(2)||
  \   \ 4                        /     \4                  //
(5π4<xx<atan(2)+π)(π4<xx<atan(2))\left(\frac{5 \pi}{4} < x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(2 \right)} + \pi\right) \vee \left(\frac{\pi}{4} < x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right)
((x < atan(2))∧(pi/4 < x))∨((5*pi/4 < x)∧(x < pi + atan(2)))