Sr Examen

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cos(x)<=-√3/2 desigualdades

Ha introducido [src]

             ___ 
          -\/ 3  
cos(x) <= -------
             2

\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}

cos(x) <= (-sqrt(3))/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\cos{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\cos{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}

x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}

x = \pi n + \frac{5 \pi}{6}

x = \pi n - \frac{\pi}{6}

, donde n es cualquier número entero

x_{1} = \pi n + \frac{5 \pi}{6}

x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{6}

x_{1} = \pi n + \frac{5 \pi}{6}

x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{6}

Las raíces dadas

x_{1} = \pi n + \frac{5 \pi}{6}

x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{6}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} \leq x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

\left(\pi n + \frac{5 \pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}

\pi n - \frac{1}{10} + \frac{5 \pi}{6}

lo sustituimos en la expresión

\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}

\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{5 \pi}{6} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}

                             ___ 
    /  1    pi       \    -\/ 3  
-sin|- -- + -- + pi*n| <= -------
    \  10   3        /       2

pero

                             ___ 
    /  1    pi       \    -\/ 3  
-sin|- -- + -- + pi*n| >= -------
    \  10   3        /       2

Entonces

x \leq \pi n + \frac{5 \pi}{6}

no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x \geq \pi n + \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq \pi n - \frac{\pi}{6}

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

 5*pi  7*pi 
[----, ----]
  6     6

x\ in\ \left[\frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right]

x in Interval(5*pi/6, 7*pi/6)

Respuesta rápida [src]

   /5*pi            7*pi\
And|---- <= x, x <= ----|
   \ 6               6  /

\frac{5 \pi}{6} \leq x \wedge x \leq \frac{7 \pi}{6}

(5*pi/6 <= x)∧(x <= 7*pi/6)

Gráfico