log(4*x+1)^(5)>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(4 x + 1 \right)}^{5} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(4 x + 1 \right)}^{5} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{\sqrt[5]{2}}}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{- \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{- \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}}{4}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{- \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} - \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}}{4}$$
$$x_{5} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{- \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}}{4}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{\sqrt[5]{2}}}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{\sqrt[5]{2}}}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{1}{4} + \frac{e^{\sqrt[5]{2}}}{4}\right)$$
=
$$- \frac{7}{20} + \frac{e^{\sqrt[5]{2}}}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(4 x + 1 \right)}^{5} > 2$$
$$\log{\left(1 + 4 \left(- \frac{7}{20} + \frac{e^{\sqrt[5]{2}}}{4}\right) \right)}^{5} > 2$$

    /       5 ___\    
   5|  2    \/ 2 |    
log |- - + e     | > 2
    \  5         /    
    

Entonces
$$x < - \frac{1}{4} + \frac{e^{\sqrt[5]{2}}}{4}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > - \frac{1}{4} + \frac{e^{\sqrt[5]{2}}}{4}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1