(x-3)^2/((7-x)(x^2+4x+4))>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(7 - x\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(7 - x\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(7 - x\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)} = 0$$
denominador
$$7 - x$$
entonces

x no es igual a 7

denominador
$$x^{2} + 4 x + 4$$
entonces

x no es igual a -2

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 3
pero

x no es igual a 7

x no es igual a -2

$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{\left(7 - x\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 4\right)} \geq 0$$
$$\frac{\left(-3 + \frac{29}{10}\right)^{2}}{\left(4 + \left(\left(\frac{29}{10}\right)^{2} + \frac{4 \cdot 29}{10}\right)\right) \left(7 - \frac{29}{10}\right)} \geq 0$$

  10      
----- >= 0
98441     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 3$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1