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Resolver desigualdades/ sqrt(2x-1)+sqrt(x+15)<5

sqrt(2x-1)+sqrt(x+15)<5 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
  _________     ________    
\/ 2*x - 1  + \/ x + 15  < 5
x+15+2x−1<5\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 1} < 5 
sqrt(x + 15) + sqrt(2*x - 1) < 5
Solución detallada
Se da la desigualdad:
x+15+2x−1<5\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 1} < 5
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
x+15+2x−1=5\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 1} = 5
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
x+15+2x−1=5\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 1} = 5
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
(x+15+2x−1)2=25\left(\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 1}\right)^{2} = 25
o
12(2x−1)+(2(x+15)(2x−1)+12(x+15))=251^{2} \left(2 x - 1\right) + \left(2 \sqrt{\left(x + 15\right) \left(2 x - 1\right)} + 1^{2} \left(x + 15\right)\right) = 25
o
3x+22x2+29x−15+14=253 x + 2 \sqrt{2 x^{2} + 29 x - 15} + 14 = 25
cambiamos:
22x2+29x−15=11−3x2 \sqrt{2 x^{2} + 29 x - 15} = 11 - 3 x
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
8x2+116x−60=(11−3x)28 x^{2} + 116 x - 60 = \left(11 - 3 x\right)^{2}
8x2+116x−60=9x2−66x+1218 x^{2} + 116 x - 60 = 9 x^{2} - 66 x + 121
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
−x2+182x−181=0- x^{2} + 182 x - 181 = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
x1=D−b2ax_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
x2=−D−b2ax_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=−1a = -1
b=182b = 182
c=−181c = -181
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(182)^2 - 4 * (-1) * (-181) = 32400

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
x1=1x_{1} = 1
x2=181x_{2} = 181

Como
2x2+29x−15=112−3x2\sqrt{2 x^{2} + 29 x - 15} = \frac{11}{2} - \frac{3 x}{2}
y
2x2+29x−15≥0\sqrt{2 x^{2} + 29 x - 15} \geq 0
entonces
112−3x2≥0\frac{11}{2} - \frac{3 x}{2} \geq 0
o
x≤113x \leq \frac{11}{3}
−∞<x-\infty < x
x1=1x_{1} = 1
comprobamos:
x1=1x_{1} = 1
x1+15+2x1−1−5=0\sqrt{x_{1} + 15} + \sqrt{2 x_{1} - 1} - 5 = 0
=
−5+(−1+2+1+15)=0-5 + \left(\sqrt{-1 + 2} + \sqrt{1 + 15}\right) = 0
=
0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
x1=1x_{1} = 1
x1=1x_{1} = 1
x1=1x_{1} = 1
Las raíces dadas
x1=1x_{1} = 1
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+1- \frac{1}{10} + 1
=
910\frac{9}{10}
lo sustituimos en la expresión
x+15+2x−1<5\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 1} < 5
−1+2⋅910+910+15<5\sqrt{-1 + \frac{2 \cdot 9}{10}} + \sqrt{\frac{9}{10} + 15} < 5
  ______       ___    
\/ 1590    2*\/ 5     
-------- + ------- < 5
   10         5

significa que la solución de la desigualdad será con:
x<1x < 1
 _____          
      \    
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.0010
Respuesta rápida [src] 
And(1/2 <= x, x < 1)
12≤x∧x<1\frac{1}{2} \leq x \wedge x < 1 
(1/2 <= x)∧(x < 1)
Respuesta rápida 2 [src] 
[1/2, 1)
x in [12,1)x\ in\ \left[\frac{1}{2}, 1\right) 
x in Interval.Ropen(1/2, 1)
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