-8/3x^2-5x-2>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- \frac{8 x^{2}}{3} - 5 x\right) - 2 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- \frac{8 x^{2}}{3} - 5 x\right) - 2 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = - \frac{8}{3}$$
$$b = -5$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (-8/3) * (-2) = 11/3

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{15}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{1} = - \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{15}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{1} = - \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{15}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{2} = - \frac{15}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{83}{80} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- \frac{8 x^{2}}{3} - 5 x\right) - 2 \geq 0$$
$$-2 + \left(- \frac{8 \left(- \frac{83}{80} - \frac{\sqrt{33}}{16}\right)^{2}}{3} - 5 \left(- \frac{83}{80} - \frac{\sqrt{33}}{16}\right)\right) \geq 0$$

                      2                
       /         ____\                 
       |  83   \/ 33 |                 
     8*|- -- - ------|        ____ >= 0
51     \  80     16  /    5*\/ 33      
-- - ------------------ + --------     
16           3               16        

pero

                      2               
       /         ____\                
       |  83   \/ 33 |                
     8*|- -- - ------|        ____ < 0
51     \  80     16  /    5*\/ 33     
-- - ------------------ + --------    
16           3               16       

Entonces
$$x \leq - \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \wedge x \leq - \frac{15}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2