-8/3x^2+5x-2>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- \frac{8 x^{2}}{3} + 5 x\right) - 2 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- \frac{8 x^{2}}{3} + 5 x\right) - 2 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = - \frac{8}{3}$$
$$b = 5$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (-8/3) * (-2) = 11/3

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{33}}{16} + \frac{15}{16}$$
$$x_{1} = \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{33}}{16} + \frac{15}{16}$$
$$x_{1} = \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{33}}{16} + \frac{15}{16}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{33}}{16} + \frac{15}{16}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}\right)$$
=
$$\frac{67}{80} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- \frac{8 x^{2}}{3} + 5 x\right) - 2 \geq 0$$
$$-2 + \left(- \frac{8 \left(\frac{67}{80} - \frac{\sqrt{33}}{16}\right)^{2}}{3} + 5 \left(\frac{67}{80} - \frac{\sqrt{33}}{16}\right)\right) \geq 0$$

                    2                
       /       ____\                 
       |67   \/ 33 |                 
     8*|-- - ------|        ____ >= 0
35     \80     16  /    5*\/ 33      
-- - ---------------- - --------     
16          3              16        

pero

                    2               
       /       ____\                
       |67   \/ 33 |                
     8*|-- - ------|        ____ < 0
35     \80     16  /    5*\/ 33     
-- - ---------------- - --------    
16          3              16       

Entonces
$$x \leq \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{15}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \wedge x \leq \frac{\sqrt{33}}{16} + \frac{15}{16}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2