(-4x-3)(x+7)(4x-1)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 4 x - 3\right) \left(x + 7\right) \left(4 x - 1\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 4 x - 3\right) \left(x + 7\right) \left(4 x - 1\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 4 x - 3\right) \left(x + 7\right) \left(4 x - 1\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 7 = 0$$
$$- 4 x - 3 = 0$$
$$4 x - 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -7$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -7
2.
$$- 4 x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 4 x = 3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -4

x = 3 / (-4)

Obtenemos la respuesta: x2 = -3/4
3.
$$4 x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$4 x = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 4

x = 1 / (4)

Obtenemos la respuesta: x3 = 1/4
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{3} = \frac{1}{4}$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{3} = \frac{1}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{3} = \frac{1}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 4 x - 3\right) \left(x + 7\right) \left(4 x - 1\right) \geq 0$$
$$\left(- \frac{71}{10} + 7\right) \left(-3 - \frac{\left(-71\right) 4}{10}\right) \left(\frac{\left(-71\right) 4}{10} - 1\right) \geq 0$$

18669     
----- >= 0
 250      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -7$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -7$$
$$x \geq - \frac{3}{4} \wedge x \leq \frac{1}{4}$$