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Resolver desigualdades/ sqrt(x^2-1)>1

sqrt(x^2-1)>1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   ________    
  /  2         
\/  x  - 1  > 1
x2−1>1\sqrt{x^{2} - 1} > 1 
sqrt(x^2 - 1) > 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
x2−1>1\sqrt{x^{2} - 1} > 1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
x2−1=1\sqrt{x^{2} - 1} = 1
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
x2−1=1\sqrt{x^{2} - 1} = 1
x2−1=1\sqrt{x^{2} - 1} = 1
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
x2−1=1x^{2} - 1 = 1
x2−1=1x^{2} - 1 = 1
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
x2−2=0x^{2} - 2 = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
x1=D−b2ax_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
x2=−D−b2ax_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=1a = 1
b=0b = 0
c=−2c = -2
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-2) = 8

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}

Como
x2−1=1\sqrt{x^{2} - 1} = 1
y
x2−1≥0\sqrt{x^{2} - 1} \geq 0
entonces
1≥01 \geq 0
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
Las raíces dadas
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x2x_{0} < x_{2}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x2−110x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}
=
−2−110- \sqrt{2} - \frac{1}{10}
=
−2−110- \sqrt{2} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
x2−1>1\sqrt{x^{2} - 1} > 1
−1+(−2−110)2>1\sqrt{-1 + \left(- \sqrt{2} - \frac{1}{10}\right)^{2}} > 1
     ______________________    
    /                    2     
   /       /  1      ___\   > 1
  /   -1 + |- -- - \/ 2 |      
\/         \  10        /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<−2x < - \sqrt{2}
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<−2x < - \sqrt{2}
x>2x > \sqrt{2}
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-25-20-15-10-510152025050
Respuesta rápida 2 [src] 
         ___       ___     
(-oo, -\/ 2 ) U (\/ 2 , oo)
x in (−∞,−2)∪(2,∞)x\ in\ \left(-\infty, - \sqrt{2}\right) \cup \left(\sqrt{2}, \infty\right) 
x in Union(Interval.open(-oo, -sqrt(2)), Interval.open(sqrt(2), oo))
Respuesta rápida [src] 
  /   /                ___\     /  ___            \\
Or\And\-oo < x, x < -\/ 2 /, And\\/ 2  < x, x < oo//
(−∞<x∧x<−2)∨(2<x∧x<∞)\left(-\infty < x \wedge x < - \sqrt{2}\right) \vee \left(\sqrt{2} < x \wedge x < \infty\right) 
((x < oo)∧(sqrt(2) < x))∨((-oo < x)∧(x < -sqrt(2)))
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