Se da la desigualdad:
$$\left(\left(2^{x - 3} + 4^{x}\right)^{2} + 28 \left(2^{x - 3} + 4^{x}\right)\right) + 192 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(2^{x - 3} + 4^{x}\right)^{2} + 28 \left(2^{x - 3} + 4^{x}\right)\right) + 192 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{3071} i}{16} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{3071} i}{16} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{3} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{16} - \frac{3 \sqrt{455} i}{16} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{4} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{16} + \frac{3 \sqrt{455} i}{16} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo
x0 = 0
$$\left(\left(\frac{1}{2^{3}} + 4^{0}\right)^{2} + 28 \left(\frac{1}{2^{3}} + 4^{0}\right)\right) + 192 \geq 0$$
14385
----- >= 0
64
signo desigualdades se cumple cuando