(x^2+x-2)/(3-x)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{3 - x} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{3 - x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{3 - x} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
3 - x
obtendremos:
$$\left(x^{2} + x\right) - 2 = 0$$
$$x^{2} + x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-2) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x^{2} + x\right) - 2}{3 - x} < 0$$
$$\frac{-2 + \left(- \frac{21}{10} + \left(- \frac{21}{10}\right)^{2}\right)}{3 - - \frac{21}{10}} < 0$$

 31    
--- < 0
510    

pero

 31    
--- > 0
510    

Entonces
$$x < -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -2 \wedge x < 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1