Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10} \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
___
/1 pi \ -\/ 3
-sin|-- + -- - 2*pi*n| >= -------
\10 3 / 2
pero
___
/1 pi \ -\/ 3
-sin|-- + -- - 2*pi*n| < -------
\10 3 / 2
Entonces
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 2 \pi n - \frac{\pi}{3} \wedge x \leq 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2