|x-4|<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 4}\right| < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 4}\right| = 3$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 4 \geq 0$$
o
$$4 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 4\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 7 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 7$$

2.
$$x - 4 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 4$$
obtenemos la ecuación
$$\left(4 - x\right) - 3 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$1 - x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 1$$


$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 4}\right| < 3$$
$$\left|{-4 + \frac{9}{10}}\right| < 3$$

31    
-- < 3
10    

pero

31    
-- > 3
10    

Entonces
$$x < 1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1 \wedge x < 7$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1