-6*2^(2*x)+4*x+8<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 6 \cdot 2^{2 x} + 4 x\right) + 8 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 6 \cdot 2^{2 x} + 4 x\right) + 8 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{W\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = - \frac{W_{-1}\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{W\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = - \frac{W_{-1}\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{W\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = - \frac{W_{-1}\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{W\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{W\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 6 \cdot 2^{2 x} + 4 x\right) + 8 \leq 0$$
$$\left(4 \left(- \frac{W\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}\right) - 6 \cdot 2^{2 \left(- \frac{W\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}\right)}\right) + 8 \leq 0$$

               /    / 3/16\\                                              
          1   W\-log\2    // + log(16)                                    
        - - - ------------------------     / /    / 3/16\\          \     
38        5            log(2)            2*\W\-log\2    // + log(16)/ <= 0
-- - 6*2                               - ----------------------------     
5                                                   log(2)                
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{W\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{W\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x \geq - \frac{W_{-1}\left(- \log{\left(2^{\frac{3}{16}} \right)}\right) + \log{\left(16 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$