log^3(x-7)>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x - 7 \right)}^{3} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x - 7 \right)}^{3} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 7 + e^{- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}}$$
$$x_{2} = 7 + e^{- \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}}$$
$$x_{3} = e^{\sqrt[3]{2}} + 7$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = e^{\sqrt[3]{2}} + 7$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{\sqrt[3]{2}} + 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(e^{\sqrt[3]{2}} + 7\right)$$
=
$$e^{\sqrt[3]{2}} + \frac{69}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x - 7 \right)}^{3} > 2$$
$$\log{\left(-7 + \left(e^{\sqrt[3]{2}} + \frac{69}{10}\right) \right)}^{3} > 2$$

    /        3 ___\    
   3|  1     \/ 2 |    
log |- -- + e     | > 2
    \  10         /    
    

Entonces
$$x < e^{\sqrt[3]{2}} + 7$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > e^{\sqrt[3]{2}} + 7$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1