x+1-sqrt(7+11x)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 1\right) - \sqrt{11 x + 7} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 1\right) - \sqrt{11 x + 7} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(x + 1\right) - \sqrt{11 x + 7} = 0$$
$$- \sqrt{11 x + 7} = - x - 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$11 x + 7 = \left(- x - 1\right)^{2}$$
$$11 x + 7 = x^{2} + 2 x + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 9 x + 6 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 9$$
$$c = 6$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(9)^2 - 4 * (-1) * (6) = 105

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$

Como
$$\sqrt{11 x + 7} = x + 1$$
y
$$\sqrt{11 x + 7} \geq 0$$
entonces
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$-1 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{105}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{105}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{22}{5} - \frac{\sqrt{105}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 1\right) - \sqrt{11 x + 7} > 0$$
$$\left(\left(\frac{22}{5} - \frac{\sqrt{105}}{2}\right) + 1\right) - \sqrt{11 \left(\frac{22}{5} - \frac{\sqrt{105}}{2}\right) + 7} > 0$$

          __________________              
         /            _____      _____    
27      /  277   11*\/ 105     \/ 105  > 0
-- -   /   --- - ----------  - -------    
5    \/     5        2            2       

Entonces
$$x < \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{105}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{105}}{2} \wedge x < \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{105}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2