|x-2|*(x+4)*(x-5)^2≤0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 4\right) \left|{x - 2}\right| \left(x - 5\right)^{2} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 4\right) \left|{x - 2}\right| \left(x - 5\right)^{2} = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 5\right)^{2} \left(x - 2\right) \left(x + 4\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\left(x - 5\right)^{2} \left(x - 2\right) \left(x + 4\right) = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -4$$
pero x1 no satisface a la desigualdad
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 5$$

2.
$$x - 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) \left(x - 5\right)^{2} \left(x + 4\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\left(2 - x\right) \left(x - 5\right)^{2} \left(x + 4\right) = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{4} = -4$$
$$x_{5} = 2$$
pero x5 no satisface a la desigualdad
$$x_{6} = 5$$
pero x6 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = -4$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = -4$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -4$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 4\right) \left|{x - 2}\right| \left(x - 5\right)^{2} \leq 0$$
$$\left(- \frac{41}{10} + 4\right) \left|{- \frac{41}{10} - 2}\right| \left(-5 + - \frac{41}{10}\right)^{2} \leq 0$$

-505141      
-------- <= 0
 10000       

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -4$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -4$$
$$x \geq 2 \wedge x \leq 5$$