log2(sin(x/2))<-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} < -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = -1$$
cambiamos
$$\frac{\log{\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 0$$
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 1 = 0$$
Usamos la regla de proporciones:
De a1/b1 = a2/b2 se deduce a1*b2 = a2*b1,
En nuestro caso

a1 = log(sin(x/2))

b1 = log(2)

a2 = 1

b2 = -1

signo obtendremos la ecuación
$$\left(-1\right) \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} = \log{\left(2 \right)}$$
$$- \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} = \log{\left(2 \right)}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-logsin+x/2) = log(2)

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-logsin+x/2) = log2

Esta ecuación no tiene soluciones
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} < -1$$
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(\frac{- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}}{2} \right)} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} < -1$$

   /   /1    pi\\     
log|cos|-- + --||     
   \   \20   3 // < -1
-----------------     
      log(2)          

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{\pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{\pi}{3}$$
$$x > \frac{5 \pi}{3}$$