log1/2(x+1)*(x+3)+log2(x+3)>-2*log411 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(1 \right)}}{2} \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} > - 2 \log{\left(411 \right)}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(1 \right)}}{2} \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = - 2 \log{\left(411 \right)}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(1 \right)}}{2} \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = - 2 \log{\left(411 \right)}$$
$$\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = - 2 \log{\left(411 \right)}$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(2)
$$\log{\left(x + 3 \right)} = - 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(411 \right)}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$x + 3 = e^{\frac{\left(-1\right) 2 \log{\left(411 \right)}}{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}}}}$$
simplificamos
$$x + 3 = e^{- 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(411 \right)}}$$
$$x = -3 + e^{- 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(411 \right)}}$$
$$x_{1} = -3 + 411^{- \log{\left(4 \right)}}$$
$$x_{1} = -3 + 411^{- \log{\left(4 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -3 + 411^{- \log{\left(4 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(-3 + 411^{- \log{\left(4 \right)}}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10} + 411^{- \log{\left(4 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(1 \right)}}{2} \left(x + 1\right) \left(x + 3\right) + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} > - 2 \log{\left(411 \right)}$$
$$\frac{\log{\left(1 \right)}}{2} \left(\left(- \frac{31}{10} + 411^{- \log{\left(4 \right)}}\right) + 1\right) \left(\left(- \frac{31}{10} + 411^{- \log{\left(4 \right)}}\right) + 3\right) + \frac{\log{\left(\left(- \frac{31}{10} + 411^{- \log{\left(4 \right)}}\right) + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} > - 2 \log{\left(411 \right)}$$

          /1       -log(4)\              
pi*I + log|-- - 411       |              
          \10             / > -2*log(411)
---------------------------              
           log(2)                        

Entonces
$$x < -3 + 411^{- \log{\left(4 \right)}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > -3 + 411^{- \log{\left(4 \right)}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1