(x-1)(x-2)/3-x<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{3} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{3} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{3} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$\frac{x^{2}}{3} - 2 x + \frac{2}{3} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{3}$$
$$b = -2$$
$$c = \frac{2}{3}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1/3) * (2/3) = 28/9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \sqrt{7} + 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{7}$$
$$x_{1} = \sqrt{7} + 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{7}$$
$$x_{1} = \sqrt{7} + 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{7}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 3 - \sqrt{7}$$
$$x_{1} = \sqrt{7} + 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(3 - \sqrt{7}\right)$$
=
$$\frac{29}{10} - \sqrt{7}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{3} \leq 0$$
$$- (\frac{29}{10} - \sqrt{7}) + \frac{\left(-2 + \left(\frac{29}{10} - \sqrt{7}\right)\right) \left(-1 + \left(\frac{29}{10} - \sqrt{7}\right)\right)}{3} \leq 0$$

               /9      ___\ /19     ___\     
               |-- - \/ 7 |*|-- - \/ 7 |     
  29     ___   \10        / \10        / <= 0
- -- + \/ 7  + -------------------------     
  10                       3                 

pero

               /9      ___\ /19     ___\     
               |-- - \/ 7 |*|-- - \/ 7 |     
  29     ___   \10        / \10        / >= 0
- -- + \/ 7  + -------------------------     
  10                       3                 

Entonces
$$x \leq 3 - \sqrt{7}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 3 - \sqrt{7} \wedge x \leq \sqrt{7} + 3$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1