8x^2-2x-1<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(8 x^{2} - 2 x\right) - 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(8 x^{2} - 2 x\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 8$$
$$b = -2$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (8) * (-1) = 36

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{4} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{7}{20}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(8 x^{2} - 2 x\right) - 1 < 0$$
$$-1 + \left(- \frac{\left(-7\right) 2}{20} + 8 \left(- \frac{7}{20}\right)^{2}\right) < 0$$

17    
-- < 0
25    

pero

17    
-- > 0
25    

Entonces
$$x < - \frac{1}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{1}{4} \wedge x < \frac{1}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1