log5-x*(x+3)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x \left(x + 3\right) + \log{\left(5 \right)} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x \left(x + 3\right) + \log{\left(5 \right)} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$- x \left(x + 3\right) + \log{\left(5 \right)} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$- x^{2} - 3 x + \log{\left(5 \right)} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = -3$$
$$c = \log{\left(5 \right)}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (-1) * (log(5)) = 9 + 4*log(5)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{8}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x \left(x + 3\right) + \log{\left(5 \right)} \leq 0$$
$$- \left(\left(- \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{8}{5}\right) + 3\right) \left(- \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{8}{5}\right) + \log{\left(5 \right)} \leq 0$$

  /        ______________\ /      ______________\              
  |  8   \/ 9 + 4*log(5) | |7   \/ 9 + 4*log(5) |              
- |- - - ----------------|*|- - ----------------| + log(5) <= 0
  \  5          2        / \5          2        /              
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2} - \frac{3}{2}$$
$$x \geq - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 \log{\left(5 \right)} + 9}}{2}$$