4^x-1+2^x-2-3/2<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(2^{x} + \left(4^{x} - 1\right)\right) - 2\right) - \frac{3}{2} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(2^{x} + \left(4^{x} - 1\right)\right) - 2\right) - \frac{3}{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(2^{x} + \left(4^{x} - 1\right)\right) - 2\right) - \frac{3}{2} = 0$$
o
$$\left(\left(2^{x} + \left(4^{x} - 1\right)\right) - 2\right) - \frac{3}{2} = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + v - \frac{9}{2} = 0$$
o
$$v^{2} + v - \frac{9}{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = - \frac{9}{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-9/2) = 19

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19}}{2}$$
$$v_{2} = - \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(2^{x} + \left(4^{x} - 1\right)\right) - 2\right) - \frac{3}{2} \leq 0$$
$$\left(-2 + \left(\left(-1 + 4^{- \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{3}{5}}\right) + 2^{- \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{3}{5}}\right)\right) - \frac{3}{2} \leq 0$$

               ____            ____     
         3   \/ 19       3   \/ 19      
       - - - ------    - - - ------     
  9      5     2         5     2    <= 0
- - + 2             + 4                 
  2                                     
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{\sqrt{19}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x \geq - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19}}{2}$$