cos(5*x+5*pi/2)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(5 x + \frac{5 \pi}{2} \right)} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(5 x + \frac{5 \pi}{2} \right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(5 x + \frac{5 \pi}{2} \right)} = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple

cambiando el signo de 0

Obtenemos:
$$\cos{\left(5 x + \frac{5 \pi}{2} \right)} = 0$$

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(5 x \right)} = 0$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$5 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$5 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
O
$$5 x = 2 \pi n$$
$$5 x = 2 \pi n + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$5$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{5}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{5} + \frac{\pi}{5}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{5}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{5} + \frac{\pi}{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{5}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{5} + \frac{\pi}{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{5} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{5} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(5 x + \frac{5 \pi}{2} \right)} \leq 0$$
$$\cos{\left(5 \left(\frac{2 \pi n}{5} - \frac{1}{10}\right) + \frac{5 \pi}{2} \right)} \leq 0$$

-sin(-1/2 + 2*pi*n) <= 0

pero

-sin(-1/2 + 2*pi*n) >= 0

Entonces
$$x \leq \frac{2 \pi n}{5}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{2 \pi n}{5} \wedge x \leq \frac{2 \pi n}{5} + \frac{\pi}{5}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2