cos5x<1/2 desigualdades

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cos(5*x) < 1/2

\cos{\left(5 x \right)} < \frac{1}{2}

cos(5*x) < 1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\cos{\left(5 x \right)} < \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\cos{\left(5 x \right)} = \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\cos{\left(5 x \right)} = \frac{1}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

5 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}

5 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}

O

5 x = \pi n + \frac{\pi}{3}

5 x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}

, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en

5

x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}

x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}

x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}

x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}

Las raíces dadas

x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}

x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

=

\left(\frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}\right) + - \frac{1}{10}

=

\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{15}

lo sustituimos en la expresión

\cos{\left(5 x \right)} < \frac{1}{2}

\cos{\left(5 \left(\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{15}\right) \right)} < \frac{1}{2}

   /  1   pi       \      
cos|- - + -- + pi*n| < 1/2
   \  2   3        /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x < \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:

x < \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{15}

x > \frac{\pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}

Solución de la desigualdad en el gráfico

Gráfico