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Resolver desigualdades/ cos(5*x/4)<=-sqrt(3)/2

cos(5*x/4)<=-sqrt(3)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
               ___ 
   /5*x\    -\/ 3  
cos|---| <= -------
   \ 4 /       2
cos⁡(5x4)≤(−1)32\cos{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2} 
cos((5*x)/4) <= (-sqrt(3))/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(5x4)≤(−1)32\cos{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(5x4)=(−1)32\cos{\left(\frac{5 x}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(5x4)=(−1)32\cos{\left(\frac{5 x}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
5x4=πn+acos⁡(−32)\frac{5 x}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
5x4=πn−π+acos⁡(−32)\frac{5 x}{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
O
5x4=πn+5π6\frac{5 x}{4} = \pi n + \frac{5 \pi}{6}
5x4=πn−π6\frac{5 x}{4} = \pi n - \frac{\pi}{6}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
54\frac{5}{4}
x1=4πn5+2π3x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}
x2=4πn5−2π15x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}
x1=4πn5+2π3x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}
x2=4πn5−2π15x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}
Las raíces dadas
x1=4πn5+2π3x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}
x2=4πn5−2π15x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(4πn5+2π3)+−110\left(\frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}
=
4πn5−110+2π3\frac{4 \pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(5x4)≤(−1)32\cos{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
cos⁡(5(4πn5−110+2π3)4)≤(−1)32\cos{\left(\frac{5 \left(\frac{4 \pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}\right)}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}
                            ___ 
    /  1   pi       \    -\/ 3  
-sin|- - + -- + pi*n| <= -------
    \  8   3        /       2

pero
                            ___ 
    /  1   pi       \    -\/ 3  
-sin|- - + -- + pi*n| >= -------
    \  8   3        /       2

Entonces
x≤4πn5+2π3x \leq \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥4πn5+2π3∧x≤4πn5−2π15x \geq \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3} \wedge x \leq \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-101020304050602-2
Respuesta rápida 2 [src] 
       /   _____________\          /   _____________\        
       |  /         ___ |          |  /         ___ |        
 8*atan\\/  7 + 4*\/ 3  /    8*atan\\/  7 + 4*\/ 3  /   8*pi 
[------------------------, - ------------------------ + ----]
            5                           5                5
x in [8atan⁡(43+7)5,−8atan⁡(43+7)5+8π5]x\ in\ \left[\frac{8 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{4 \sqrt{3} + 7} \right)}}{5}, - \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{4 \sqrt{3} + 7} \right)}}{5} + \frac{8 \pi}{5}\right] 
x in Interval(8*atan(sqrt(4*sqrt(3) + 7))/5, -8*atan(sqrt(4*sqrt(3) + 7))/5 + 8*pi/5)
Respuesta rápida [src] 
   /             /   _____________\               /   _____________\     \
   |             |  /         ___ |               |  /         ___ |     |
   |       8*atan\\/  7 + 4*\/ 3  /   8*pi  8*atan\\/  7 + 4*\/ 3  /     |
And|x <= - ------------------------ + ----, ------------------------ <= x|
   \                  5                5               5                 /
x≤−8atan⁡(43+7)5+8π5∧8atan⁡(43+7)5≤xx \leq - \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{4 \sqrt{3} + 7} \right)}}{5} + \frac{8 \pi}{5} \wedge \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{4 \sqrt{3} + 7} \right)}}{5} \leq x 
(8*atan(sqrt(7 + 4*sqrt(3)))/5 <= x)∧(x <= -8*atan(sqrt(7 + 4*sqrt(3)))/5 + 8*pi/5)
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