cos(5*x/4)<=-sqrt(3)/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(\frac{5 x}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{5 x}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{5 x}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$\frac{5 x}{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
O
$$\frac{5 x}{4} = \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$\frac{5 x}{4} = \pi n - \frac{\pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{5}{4}$$
$$x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
$$x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{4 \pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(\frac{5 \left(\frac{4 \pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}\right)}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$

                            ___ 
    /  1   pi       \    -\/ 3  
-sin|- - + -- + pi*n| <= -------
    \  8   3        /       2   
                         

pero

                            ___ 
    /  1   pi       \    -\/ 3  
-sin|- - + -- + pi*n| >= -------
    \  8   3        /       2   
                         

Entonces
$$x \leq \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{4 \pi n}{5} + \frac{2 \pi}{3} \wedge x \leq \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2