Sr Examen

Lang:

cos(x)≤√2/2 desigualdades

Ha introducido [src]

            ___
          \/ 2 
cos(x) <= -----
            2

\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

cos(x) <= sqrt(2)/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}

x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}

x = \pi n + \frac{\pi}{4}

x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}

, donde n es cualquier número entero

x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}

x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}

x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}

x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}

Las raíces dadas

x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}

x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} \leq x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}

\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}

lo sustituimos en la expresión

\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

                           ___
   /  1    pi       \    \/ 2 
cos|- -- + -- + pi*n| <= -----
   \  10   4        /      2

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:

x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}

x \geq \pi n - \frac{3 \pi}{4}

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

 pi  7*pi 
[--, ----]
 4    4

x\ in\ \left[\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right]

x in Interval(pi/4, 7*pi/4)

Respuesta rápida [src]

   /pi            7*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \4              4  /

\frac{\pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{7 \pi}{4}

(pi/4 <= x)∧(x <= 7*pi/4)

Gráfico