sqrt(2x)-sqrt(x-1)>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{2 x} - \sqrt{x - 1} > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{2 x} - \sqrt{x - 1} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2 x} - \sqrt{x - 1} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{x - 1}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(x - 1\right) + \left(x \left(\sqrt{2}\right)^{2} + \left(-1\right) 2 \sqrt{2} \sqrt{x \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
o
$$3 x - 2 \sqrt{2} \sqrt{x^{2} - x} - 1 = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{2} \sqrt{x^{2} - x} = 2 - 3 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$8 x^{2} - 8 x = \left(2 - 3 x\right)^{2}$$
$$8 x^{2} - 8 x = 9 x^{2} - 12 x + 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 4 x - 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 4$$
$$c = -4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (-1) * (-4) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = -4/2/(-1)

$$x_{1} = 2$$

Como
$$\sqrt{x^{2} - x} = \frac{3 \sqrt{2} x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
y
$$\sqrt{x^{2} - x} \geq 0$$
entonces
$$\frac{3 \sqrt{2} x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0$$
o
$$\frac{2}{3} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 2$$
comprobamos:
$$x_{1} = 2$$
$$\sqrt{2} \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{1} - 1} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{-1 + 2} + \sqrt{2 \cdot 2}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{2 x} - \sqrt{x - 1} > 1$$
$$- \sqrt{-1 + \frac{19}{10}} + \sqrt{\frac{2 \cdot 19}{10}} > 1$$

      ____     ____    
  3*\/ 10    \/ 95     
- -------- + ------ > 1
     10        5       
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 2$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1