2cos^2x+5cosx+2>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) + 2 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) + 2 = 0$$
cambiamos
$$5 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 3 = 0$$
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) + 2 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 5$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (2) * (2) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -2$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = 2 \pi - \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \geq 0$$
$$\left(5 \cos{\left(- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right) + 2 \geq 0$$

         /1    pi\        2/1    pi\     
2 - 5*cos|-- + --| + 2*cos |-- + --| >= 0
         \10   3 /         \10   3 /     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{2 \pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{2 \pi}{3}$$
$$x \geq \frac{4 \pi}{3}$$