log3-x(x+6)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x \left(x + 6\right) + \log{\left(3 \right)} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x \left(x + 6\right) + \log{\left(3 \right)} = 1$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$- x \left(x + 6\right) + \log{\left(3 \right)} = 1$$
en
$$\left(- x \left(x + 6\right) + \log{\left(3 \right)}\right) - 1 = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(- x \left(x + 6\right) + \log{\left(3 \right)}\right) - 1 = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$- x^{2} - 6 x - 1 + \log{\left(3 \right)} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = -6$$
$$c = -1 + \log{\left(3 \right)}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6)^2 - 4 * (-1) * (-1 + log(3)) = 32 + 4*log(3)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2} - 3$$
$$x_{2} = -3 + \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2} - 3$$
$$x_{2} = -3 + \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2} - 3$$
$$x_{2} = -3 + \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2} - 3$$
$$x_{2} = -3 + \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2} - 3\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10} - \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x \left(x + 6\right) + \log{\left(3 \right)} < 1$$
$$- \left(- \frac{31}{10} - \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2}\right) \left(\left(- \frac{31}{10} - \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2}\right) + 6\right) + \log{\left(3 \right)} < 1$$

  /         _______________\ /       _______________\             
  |  31   \/ 32 + 4*log(3) | |29   \/ 32 + 4*log(3) |             
- |- -- - -----------------|*|-- - -----------------| + log(3) < 1
  \  10           2        / \10           2        /             
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2} - 3$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2} - 3$$
$$x > -3 + \frac{\sqrt{4 \log{\left(3 \right)} + 32}}{2}$$