(3*x-1)*(x+4)*(x+6)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 4\right) \left(3 x - 1\right) \left(x + 6\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 4\right) \left(3 x - 1\right) \left(x + 6\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 4\right) \left(3 x - 1\right) \left(x + 6\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 4 = 0$$
$$x + 6 = 0$$
$$3 x - 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -4
2.
$$x + 6 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -6$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -6
3.
$$3 x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$3 x = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3

x = 1 / (3)

Obtenemos la respuesta: x3 = 1/3
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -6$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{3} = \frac{1}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-6 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 4\right) \left(3 x - 1\right) \left(x + 6\right) \geq 0$$
$$\left(- \frac{61}{10} + 4\right) \left(\frac{\left(-61\right) 3}{10} - 1\right) \left(- \frac{61}{10} + 6\right) \geq 0$$

-4053      
------ >= 0
 1000      

pero

-4053     
------ < 0
 1000     

Entonces
$$x \leq -6$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -6 \wedge x \leq -4$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -6 \wedge x \leq -4$$
$$x \geq \frac{1}{3}$$