(2x+3)/(x-1)+(x+1)/x>=3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{2 x + 3}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} \geq 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{2 x + 3}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{2 x + 3}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} = 3$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$6 x - 1 = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

denominador
$$x - 1$$
entonces

x no es igual a 1

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$6 x - 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
3.
$$6 x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$6 x = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 6

x = 1 / (6)

Obtenemos la respuesta: x1 = 1/6
pero

x no es igual a 0

x no es igual a 1

$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{6}$$
=
$$\frac{1}{15}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{2 x + 3}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} \geq 3$$

   2                       
   -- + 3                  
   15         1/15 + 1     
----------- + -------- >= 3
          1     /1 \       
(1/15 - 1)      |--|       
                \15/       

177     
--- >= 3
 14     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq \frac{1}{6}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1