Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2>1
-
-x^2+3x-2<0
-
(x-2)/(x-4)>0
-
x+1>0
-
Expresiones idénticas
- cos dos x≥√ tres /2
- coseno de 2x≥√3 dividir por 2
- coseno de dos x≥√ tres dividir por 2
- cos2x≥√3 dividir por 2
cos2x≥√3/2 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
___
\/ 3
cos(2*x) >= -----
2
$$\cos{\left(2 x \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
cos(2*x) >= sqrt(3)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(2 x \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
O
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$2 x = \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(2 x \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}\right) \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
pero
Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12} \wedge x \leq \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
$$\cos{\left(2 x \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
O
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$2 x = \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(2 x \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}\right) \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
___
/ 1 pi \ \/ 3
cos|- - + -- + pi*n| >= -----
\ 5 6 / 2
pero
___
/ 1 pi \ \/ 3
cos|- - + -- + pi*n| < -----
\ 5 6 / 2
Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12} \wedge x \leq \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / / ___ ___\\ / / ___ ___\ \\ | | |\/ 2 - \/ 6 || | |\/ 2 - \/ 6 | || Or|And|0 <= x, x <= -atan|-------------||, And|x <= pi, pi + atan|-------------| <= x|| | | | ___ ___|| | | ___ ___| || \ \ \\/ 2 + \/ 6 // \ \\/ 2 + \/ 6 / //
$$\left(0 \leq x \wedge x \leq - \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)}\right) \vee \left(x \leq \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi \leq x\right)$$
((0 <= x)∧(x <= -atan((sqrt(2) - sqrt(6))/(sqrt(2) + sqrt(6)))))∨((x <= pi)∧(pi + atan((sqrt(2) - sqrt(6))/(sqrt(2) + sqrt(6))) <= x))
Respuesta rápida 2
[src]
/ ___ ___\ / ___ ___\
|\/ 2 - \/ 6 | |\/ 2 - \/ 6 |
[0, -atan|-------------|] U [pi + atan|-------------|, pi]
| ___ ___| | ___ ___|
\\/ 2 + \/ 6 / \\/ 2 + \/ 6 /
$$x\ in\ \left[0, - \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi, \pi\right]$$
x in Union(Interval(0, -atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6)))), Interval(atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6))) + pi, pi))