(x+5)*(x+3)*(x+7)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 3\right) \left(x + 5\right) \left(x + 7\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 3\right) \left(x + 5\right) \left(x + 7\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 3\right) \left(x + 5\right) \left(x + 7\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 3 = 0$$
$$x + 5 = 0$$
$$x + 7 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -3
2.
$$x + 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -5$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -5
3.
$$x + 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -7$$
Obtenemos la respuesta: x3 = -7
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = -7$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = -7$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -7$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = -3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 3\right) \left(x + 5\right) \left(x + 7\right) \geq 0$$
$$\left(- \frac{71}{10} + 3\right) \left(- \frac{71}{10} + 5\right) \left(- \frac{71}{10} + 7\right) \geq 0$$

-861      
----- >= 0
 1000     

pero

-861     
----- < 0
 1000    

Entonces
$$x \leq -7$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -7 \wedge x \leq -5$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -7 \wedge x \leq -5$$
$$x \geq -3$$