(x-3)(2x+3)<-7 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) < -7$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) = -7$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) = -7$$
en
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) + 7 = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) + 7 = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (-2) = 25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) < -7$$
$$\left(-3 + - \frac{3}{5}\right) \left(\frac{\left(-3\right) 2}{5} + 3\right) < -7$$

-162      
----- < -7
  25      

pero

-162      
----- > -7
  25      

Entonces
$$x < - \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{1}{2} \wedge x < 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1