((5x^2-2x-3)/(x-1))>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(5 x^{2} - 2 x\right) - 3}{x - 1} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(5 x^{2} - 2 x\right) - 3}{x - 1} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(5 x^{2} - 2 x\right) - 3}{x - 1} = 0$$
denominador
$$x - 1$$
entonces

x no es igual a 1

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$5 x^{2} - 2 x - 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$5 x^{2} - 2 x - 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 5$$
$$b = -2$$
$$c = -3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (5) * (-3) = 64

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{3}{5}$$
pero

x no es igual a 1

$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{3}{5}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{3}{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{3}{5}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{7}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(5 x^{2} - 2 x\right) - 3}{x - 1} \geq 0$$
$$\frac{-3 + \left(- \frac{\left(-7\right) 2}{10} + 5 \left(- \frac{7}{10}\right)^{2}\right)}{-1 - \frac{7}{10}} \geq 0$$

-1/2 >= 0

pero

-1/2 < 0

Entonces
$$x \leq - \frac{3}{5}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{3}{5} \wedge x \leq 1$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1