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Resolver desigualdades/ log2(x-1)+log2(6)<=log2(18)

log2(x-1)+log2(6)<=log2(18) desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
log(x - 1)   log(6)    log(18)
---------- + ------ <= -------
  log(2)     log(2)     log(2)
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(6)log⁡(2)≤log⁡(18)log⁡(2)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} 
log(x - 1)/log(2) + log(6)/log(2) <= log(18)/log(2)
Solución detallada
Se da la desigualdad:
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(6)log⁡(2)≤log⁡(18)log⁡(2)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(6)log⁡(2)=log⁡(18)log⁡(2)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(6)log⁡(2)=log⁡(18)log⁡(2)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
log⁡(x−1)log⁡(2)=−log⁡(6)log⁡(2)+log⁡(18)log⁡(2)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = - \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(2)
log⁡(x−1)=(−log⁡(6)log⁡(2)+log⁡(18)log⁡(2))log⁡(2)\log{\left(x - 1 \right)} = \left(- \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}
Es la ecuación de la forma:
log(v)=p

Por definición log
v=e^p

entonces
x−1=e−log⁡(6)log⁡(2)+log⁡(18)log⁡(2)1log⁡(2)x - 1 = e^{\frac{- \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}}{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}}}}
simplificamos
x−1=e(−log⁡(6)log⁡(2)+log⁡(18)log⁡(2))log⁡(2)x - 1 = e^{\left(- \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}}
x=1+e(−log⁡(6)log⁡(2)+log⁡(18)log⁡(2))log⁡(2)x = 1 + e^{\left(- \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \log{\left(2 \right)}}
x1=4x_{1} = 4
x1=4x_{1} = 4
Las raíces dadas
x1=4x_{1} = 4
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+4- \frac{1}{10} + 4
=
3910\frac{39}{10}
lo sustituimos en la expresión
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(6)log⁡(2)≤log⁡(18)log⁡(2)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
log⁡(−1+3910)log⁡(2)+log⁡(6)log⁡(2)≤log⁡(18)log⁡(2)\frac{\log{\left(-1 + \frac{39}{10} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq \frac{\log{\left(18 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
            /29\           
         log|--|    log(18)
log(6)      \10/ <= -------
------ + -------     log(2)
log(2)    log(2)

significa que la solución de la desigualdad será con:
x≤4x \leq 4
 _____          
      \    
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.0-2020
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