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Resolver desigualdades/ log2(x-1)+log26<=log218

log2(x-1)+log26<=log218 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
log(x - 1)                      
---------- + log(26) <= log(218)
  log(2)
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(26)≤log⁡(218)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \log{\left(26 \right)} \leq \log{\left(218 \right)} 
log(x - 1)/log(2) + log(26) <= log(218)
Solución detallada
Se da la desigualdad:
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(26)≤log⁡(218)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \log{\left(26 \right)} \leq \log{\left(218 \right)}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(26)=log⁡(218)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \log{\left(26 \right)} = \log{\left(218 \right)}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(26)=log⁡(218)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \log{\left(26 \right)} = \log{\left(218 \right)}
log⁡(x−1)log⁡(2)=−log⁡(26)+log⁡(218)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = - \log{\left(26 \right)} + \log{\left(218 \right)}
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(2)
log⁡(x−1)=(−log⁡(26)+log⁡(218))log⁡(2)\log{\left(x - 1 \right)} = \left(- \log{\left(26 \right)} + \log{\left(218 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}
Es la ecuación de la forma:
log(v)=p

Por definición log
v=e^p

entonces
x−1=e−log⁡(26)+log⁡(218)1log⁡(2)x - 1 = e^{\frac{- \log{\left(26 \right)} + \log{\left(218 \right)}}{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}}}}
simplificamos
x−1=e(−log⁡(26)+log⁡(218))log⁡(2)x - 1 = e^{\left(- \log{\left(26 \right)} + \log{\left(218 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}}
x=1+e(−log⁡(26)+log⁡(218))log⁡(2)x = 1 + e^{\left(- \log{\left(26 \right)} + \log{\left(218 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}}
x1=1+2−log⁡(13109)x_{1} = 1 + 2^{- \log{\left(\frac{13}{109} \right)}}
x1=1+2−log⁡(13109)x_{1} = 1 + 2^{- \log{\left(\frac{13}{109} \right)}}
Las raíces dadas
x1=1+2−log⁡(13109)x_{1} = 1 + 2^{- \log{\left(\frac{13}{109} \right)}}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+(1+2−log⁡(13109))- \frac{1}{10} + \left(1 + 2^{- \log{\left(\frac{13}{109} \right)}}\right)
=
910+2−log⁡(13109)\frac{9}{10} + 2^{- \log{\left(\frac{13}{109} \right)}}
lo sustituimos en la expresión
log⁡(x−1)log⁡(2)+log⁡(26)≤log⁡(218)\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \log{\left(26 \right)} \leq \log{\left(218 \right)}
log⁡(−1+(910+2−log⁡(13109)))log⁡(2)+log⁡(26)≤log⁡(218)\frac{\log{\left(-1 + \left(\frac{9}{10} + 2^{- \log{\left(\frac{13}{109} \right)}}\right) \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \log{\left(26 \right)} \leq \log{\left(218 \right)}
   /            / 13\\                      
   |        -log|---||                      
   |  1         \109/|                      
log|- -- + 2         |           <= log(218)
   \  10             /                      
---------------------- + log(26)            
        log(2)

significa que la solución de la desigualdad será con:
x≤1+2−log⁡(13109)x \leq 1 + 2^{- \log{\left(\frac{13}{109} \right)}}
 _____          
      \    
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-10-5101520-2020
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