(x+5)(x+2)/x+7<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$7 + \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 5\right)}{x} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$7 + \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 5\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$7 + \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 5\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} + 14 x + 10}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} + 14 x + 10 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} + 14 x + 10 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 14$$
$$c = 10$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(14)^2 - 4 * (1) * (10) = 156

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -7 + \sqrt{39}$$
$$x_{2} = -7 - \sqrt{39}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = -7 + \sqrt{39}$$
$$x_{2} = -7 - \sqrt{39}$$
$$x_{1} = -7 + \sqrt{39}$$
$$x_{2} = -7 - \sqrt{39}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -7 - \sqrt{39}$$
$$x_{1} = -7 + \sqrt{39}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(-7 - \sqrt{39}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10} - \sqrt{39}$$
lo sustituimos en la expresión
$$7 + \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 5\right)}{x} < 0$$
$$\frac{\left(\left(- \frac{71}{10} - \sqrt{39}\right) + 2\right) \left(\left(- \frac{71}{10} - \sqrt{39}\right) + 5\right)}{- \frac{71}{10} - \sqrt{39}} + 7 < 0$$

    /  51     ____\ /  21     ____\    
    |- -- - \/ 39 |*|- -- - \/ 39 |    
    \  10         / \  10         /    
7 + ------------------------------- < 0
               71     ____             
             - -- - \/ 39              
               10                      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -7 - \sqrt{39}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -7 - \sqrt{39}$$
$$x > -7 + \sqrt{39}$$