(16x^2-x)/(12-x)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{16 x^{2} - x}{12 - x} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{16 x^{2} - x}{12 - x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{16 x^{2} - x}{12 - x} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
12 - x
obtendremos:
$$16 x^{2} - x = 0$$
$$x \left(16 x - 1\right) = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 16$$
$$b = -1$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (16) * (0) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{1}{16}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{1}{16}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{1}{16}$$
$$x_{2} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{1}{16}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{16 x^{2} - x}{12 - x} < 0$$
$$\frac{- \frac{-1}{10} + 16 \left(- \frac{1}{10}\right)^{2}}{12 - - \frac{1}{10}} < 0$$

 13    
--- < 0
605    

pero

 13    
--- > 0
605    

Entonces
$$x < 0$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 0 \wedge x < \frac{1}{16}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1