2cos2x≥1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \cos{\left(2 x \right)} \geq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \cos{\left(2 x \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \cos{\left(2 x \right)} = 1$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
O
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$2 x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \cos{\left(2 x \right)} \geq 1$$
$$2 \cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}\right) \right)} \geq 1$$

     /  1   pi       \     
2*cos|- - + -- + pi*n| >= 1
     \  5   3        /     

pero

     /  1   pi       \    
2*cos|- - + -- + pi*n| < 1
     \  5   3        /    

Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2