Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(- 2 x^{2} + 3 x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(- 2 x^{2} + 3 x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(- 2 x^{2} + 3 x \right)}}{\log{\left(x + 1 \right)}} > 0$$
$$\frac{\log{\left(- 2 \left(\frac{2}{5}\right)^{2} + \frac{2 \cdot 3}{5} \right)}}{\log{\left(\frac{2}{5} + 1 \right)}} > 0$$
/22\
log|--|
\25/ > 0
--------
log(7/5)
Entonces
$$x < \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{1}{2} \wedge x < 1$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2